Meshfree, czyli wolny od kroku dyskretyzacji

Z końcem 2022 roku można zdecydowanie stwierdzić, iż metoda elementów skończonych i wykorzystujące ją aplikacje komercyjne  są już bardzo rozpowszechnione, dojrzałe i  z powodzeniem zweryfikowane  w zastosowaniach przemysłowych. Niemniej jednak posiadają również kłopotliwe pola.

Nadal, w opinii użytkowników największą bolączką  metody MES, a w zasadzie prac przygotowawczych do analizy, jest przekształcanie modelu CAD w dyskretny model analizy elementów skończonych. Tym bardziej, iż  w obecnym świecie inżynierskim  wszystko wykonywane musi być szybciej, elementów złożeń jest więcej i są często nieprzeciętnie skomplikowane.

Z pomocą na rynek wkraczają technologie tzw. bezsiatkowe. Terminologia bez siatki w mechanice obliczeniowej jest znana od lat i związana jest z licznymi badaniami prowadzonymi w światowych jednostkach naukowych.  Celem prowadzonych badań jest  pomoc inżynierom przekroczyć granice związane z klasycznymi metodami obliczeniowymi.  

Niektóre metody bezsiatkowe są ukierunkowane na obsługę ekstremalnych nieliniowości,  inne są definiowane w taki sposób by były gotowe do modelowania wielko i wielo- skalowego. Wśród tych metod  ciągu ostatnich 3 lat bardzo rozwinęła się koncepcja rynkowo zwana „meshfree” czyli wolny od kroku dyskretyzacji.

Metoda elementów skończonych

Koncepcja metody elementów skończonych zakłada, że takie wielkości jak przemieszczenie
i naprężenie opisuje się za pomocą ciągłej funkcji (pierwotnej) w danym obszarze (fragmencie ciągłym modelu fizycznego) i aproksymuje się modelem dyskretnym. Model dyskretny składa się ze zbiorów funkcji ciągłych określonych w skończonej liczbie podobszarów. Obszary te, to elementy skończone.

W celu otrzymania modelu dyskretnego należy w ciągłym fragmencie analizowanego modelu fizycznego wyróżnić skończoną liczbę węzłów, określić w węzłach wielkości fizyczne, których wartości się aproksymuje. Należy również podzielić rozpatrywany obszar na skończoną liczbę elementów, które łączą się we wspólnych węzłach, a ich zbiór musi pokrywać cały obszar.

Ostatnim krokiem jest aproksymacja wielkości fizycznych w każdym elemencie za pomocą funkcji aproksymujących tj. wielomiany, szeregi lub ciągi, przez wielkości węzłowe (Rys.1).

Rozwiązanie problemu Metodą Elementów Skończonych prowadzi do transformacji równania całkowego do postaci (układu) macierzy równań liniowych. W otrzymanym układzie równań liniowych zdecydowana większość wartości to zera. Model w postaci równania całkowego i definicji przestrzeni funkcji aproksymujących jest równoważny modelowi w postaci sposobu konstrukcji układu równań liniowych MES.

Dzięki tej własności metoda MES nadaje się do tworzenia algorytmów numerycznych i jest najczęściej stosowaną metodą wykorzystywaną przy implementacji do programów komputerowych.

Pre-processing – etap przygotowania modelu obliczeniowego

W pracy inżyniera cel  zawsze jest jeden i ten sam: dokładny wynik obliczeń numerycznych w celu zidentyfikowania poziomu naprężeń, odkształceń, gradientów temperatury, wartości częstotliwości lub trwałości. Spójna siatka elementów odpowiednio rozmieszczonych (zagęszczonych) na rozpatrywanym obiekcie analizy znacząco sprzyja uzyskaniu zbieżności rozwiązania, a dobrze przygotowana geometria jest fundamentem dla przyszłego modelu obliczeniowego, składającego się z wybranego typu elementów  skończonych.

Na grafice poniżej  przedstawiono schemat procesu inżynieryjnego towarzyszącego inżynierowi w trakcie przygotowywania analizy numerycznej z wykorzystaniem klasycznych technik opartych o MES.

Być może zainteresuje Cię też:

Dlaczego warto wybrać oprogramowanie MIDAS IT?

Praca inżyniera obliczeniowca, a efektywność

Doświadczeni inżynierowie wiedzą, iż najbardziej czasochłonnym etapem prac jest etap idealizacji modelu i dyskretyzacji (Rys.3). Przykładowe kroki dla przygotowania/idealizacji geometrii (*nie wszystkie) to:

• Proporcje i rozmiar gabarytowy obiektu; pojedyncza część, czy złożenie.
• Wybór odpowiedniego typu lub typów elementów skończonych.
• Określenie liczby i eliminacja zbędnych detali geometrycznych, konstrukcyjnych, wykonawczych.
• Sprawdzenie geometrii: małe krawędzie, małe powierzchnie (skala mikro); wolne krawędzie.
• Naprawa geometrii: „zszywanie” krawędzi, powierzchni.
• Edycja geometrii: projekcje krzywych i punktów; wydobywanie „składowych topologicznych”.
• Wykorzystanie operacji logicznych Boole’a.
• Inne: konwersja danych geometrycznych z innych programów.

W konsekwencji zwiększenia znaczenia pre-processingu, w obecnych czasach, proces obliczeniowy przeniósł swój środek ciężkości na prace nie związane z analizą inżynierską problemu, kierując się w stronę pracy nad idealizacją projektu.

Aktualnie należy postawić sobie pytanie, czy obrana droga rozwoju metod obliczeniowych jest prawidłowa? Z jednej strony doszliśmy niemal do doskonałości w procesie przygotowania symulacji MES, z drugiej strony czas i koszty tego etapu są tak długie, że często nie spełniają aktualnych standardów czasu rozwoju produktu. Być może istnieją alternatywne rozwiązania, ale gdzie ich należy szukać?

Problem ten dotyczy nie tylko symulacji wykonywanych na zlecenie, ale również prac gdzie symulacje wykonywane są dla działów wewnętrznych  firm.  Rozwiązaniem tego problemy wydają się być właśnie metody bezsiatkowe.

Metoda Finite Cell Method

Metoda z ang. Finite Cell Method (FCM) jest metodą wykorzystującą „efekt zanurzenia” geometrii  badanego obiektu wśród komórek skończonych zdefiniowanych, jako przestrzenna siatka kartezjańska. Dlatego też metoda ta, z założenia nie uwzględnia złożoności geometrii, dzięki zupełnie innemu podejściu niż MES do problemu rozwiazywania złożonych zagadnień inżynierskich.[1]

Metoda FCM została pierwszy raz zaimplementowana do prowadzenia analiz bardzo skomplikowanych geometrycznie struktur w narzędziu inżynierskim Midas MeshFree, jako alternatywa metoda obliczeniowa do klasycznej metody MES.

Ponieważ FCM działa na prostej siatce kartezjańskiej, geometria jest dzielona na dwa podstawowe typy obszarów. Jest to związane z faktem, iż metoda FCM stosuje schemat całkowania adaptacyjnego obszaru objętego analizą, który hierarchicznie rozkłada komórki na pod-komórki w zależności od miejsca ich ulokowania w przestrzeni domeny.

Z punktu widzenia matematyki wykorzystuje ona zasadę analizy przynależności geometrii obiektu i jego granicy do obszaru znajdującego się poza lub wewnątrz komórki. Kontynuując, elementy siatki kartezjańskiej można podzielić na elementy siatki wewnętrznej i granicznej. Graniczne elementy siatki można dalej podzielić na te, w których zastosowano warunki brzegowe Dirichleta i te bez warunków brzegowych opisane warunkiem brzegowym Neumanna.

Meshfree, czyli wolny od kroku dyskretyzacji

Metoda FCD pozwoliła opracować nowatorskie narzędzie inżynierskie jakim jest program koreańskiej firmy Midas IT o nazwie MIDAS MeshFree i jego rynkowy odpowiednik program SimSolid zakupiony niedawno przez firmę Altiar właściciela flagowego programu do pre-precessingu HyperMesh.  Fakt, też świadczy o tym, iż metodę te należy uznać za bardzo nowatorską, a programy wykorzystujące FCM mogą stanowić przyszłość numeryki ciała stałego oraz symulacji przepływowych.

Kluczem zrozumienia działania programów opartych o tą technologie jest zdanie sobie sprawy iż są to metody wolne od kroku dyskretyzacji, ale nie pozbawione samej metody numerycznej opartej na definicji siatki. Kolejną rzeczą jaką należy sobie uświadomić, iż w omawianej metodzie siatka lub siatki nie są i nie muszą być zgodne z geometrią analizowanego obiektu. W dodatku dziedzina obliczeń jest „zanurzona”
w kartezjańskich siatkach (Rys. 5 i 6). Rozmiar siatki może być kontrolowany niezależnie dla poszczególnych części CAD. Podobne pojęcia można znaleźć w analizach dynamiki płynów gdzie obiekt jest zanurzony w obszarze objętym analizą.[1]

Jest wielce prawdopdobne, że programy do obliczeń numerycznych metodami bezsiatkowemi otwierają nową epokę symulacji numerycznych, w których proces idealizacji i pre-processingu przestanie być kwintesencją procesu obliczeniowego.

W przypadku Midas MeshFree siatki są generowane automatycznie przez solver bez ingerencji  użytkownika. Również dla złożeń,  generowane niezależnie dla każdego z elementów.
W przeciwieństwie do automatycznego generowania siatki w MES, które często zawodzą bez uproszczeń geometrii i idealizacji, wskaźnik sukcesu w przypadku MeshFree, wynosi niemalże sto procent.

Efektywność pracy

Efektywność pracy jest największym atrybutem nowej koncepcji programów bezsiatkowych, a może inaczej mówiąc wolnych od kroku dyskretyzacji. Po kilku dniach pracy z narzędziem midas MeshFree na obiektach posiadających geometrię o wysokim stopniu skomplikowania dostrzeżemy, iż geometria nie ma dla nas już tak istotnego znaczenia, czas włączenia analizy jest liczony w minutach lub godzinach, a nie jak wcześniej bywało w dniach lub tygodniach.

Użytkownicy  będą musieli przywyknąć,  do faktu iż analizuje się już tylko geometrię i pracuje się na geometrii, na której nalezy  przewidzieć miejsca interakcji, przyłożenia sił i warunków brzegowych. Same obliczenia w  metodach meshfree realizowane są wolniej niż w symulacje wykonywane za pomocą MES. Jednakże producenci MeshFee by wyjść naprzeciw temu problemowi umożliwili użytkownikowi wykonywanie obliczeń na wielu CPU lub GPU bez dodatkowych kosztów.

Midas MeshFree jest programem, który jest prekursorem nowego kierunku w rozwoju programów inżynierskich. Jest to kierunek, w którym program jest jedynie narzędziem w rękach inżyniera mającym pomóc mu przeanalizować i ocenić zjawisko fizyczne. Na dzień dzisiejszy jeszcze nie wszystkie zagadnienia można analizować z wykorzystaniem tej metody – listę typów analiz numerycznych możliwych do przeanalizowanie z wykorzystaniem MeshFree przedstawia Tabela 1, jednak siła tej technologii rekompensuje ten fakt.

Możliwości obliczeniowe	Typ analizy numerycznej
Linear Structural Statics	Linear statics
Normal Mode	Normal mode, pre-stressed normal mode
Heat transfer	Steady-state, transient
Thermal stress	Heat transfer, static sequential analysis
Fatigue	SN/EN fatigue
Design optimization	Topology optimization
Linear Structural Dynamics (Direct)	Transient dynamics, Frequency Response, Random Vibration …
Linear Structural Dynamics (Modal)	…. +  Response Spectrum
Nonlinear Structural Statics	Material nonlinear (elasto-plastic), contact nonlinear

Podsumowując, rozwój metod bezsiatkowych daje pogląd,  że jest to przełomowe narzędzie dla inżynierów zajmujących się symulacjami i projektowaniem CAD wszystkich branż. Być może w ciągu najbliższych lat metoda ta wspomagana przez algorytmy sztucznej inteligencji będzie stanowiła podstawowe narzędzie inżynierskie wypierając tym samym klasyczne metody MES… Tego nie da się przewidzieć. Niemniej jednak stawia ona wysoko poprzeczkę klasycznym metodom obliczeniowym i producentom oprogramowania inżynierskiego.